La.系ぶろぐ

個人的いろいろメモ。シャープペンのメモにちょっぴりゲ○ツの悪口が混じってるただのチラ裏。

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美しい解法とか

http://tk.benesse.co.jp/kaihou/
昔数セミとか読んでた時期があって(今もあるのかな?)美しいとか言われるとピクンと反応してしまうのですが、
東大の問題の割に簡単そうじゃん?と思ってやってみたら見事に計算間違いしたのでorz
悔しいからもう少し簡単そうな解法を考えてみました。

てかさ、これ……普通微分使わないよね?(その発想はなかった。そのくせ計算間違うヤツ><)
というか、解見たら、絶対もっと綺麗な解法があるはず……と考えてしまうわけで。

で、MVPen買ったので(やたら安かったw)使ってみたのですが……
図を書くと手首を返しちゃうのでずれまくりw
でも楽すぐる。

a0.jpg
(汚い図ですがご容赦w)

まず、△PQRに着目する。0<a<1の時、△PQRは長さ1の2辺を持つ二等辺三角形である。
∠QPRはa→0の時限りなく0°に近づき、a→1の時限りなく180°に近づく。

a1.jpg
(あ、QRの辺引き忘れた)

その間連続的に変化するので、PQを底辺とすると、図1の様に∠QPR=90°の時、△PQRの面積は最大値を取る。

d.jpg  
(あ、二度線引いたw)

そこでPQ、PRを直径になるように延長して、円Cとの交点をQ’、R’とすると、内接正方形QRQ’R’、およびその周辺に
(QUVと合同な)4つの直角三角形が得られる。
このとき、外接正方形の面積は4、内接正方形の面積は2なので、直角三角形一つの面積は(4-2)/4=1/2である。

b1.jpg  
(ぐあーwT書き忘れてる……Oの上ね。
 ちなみにちょっと余計な円弧を引いてみた。これと円Cを重ねると、割と有名な求積問題になるはず)

直線とy軸の交点をT、外接正方形の左側2点をそれぞれU、Vと置く。
△TUVの面積は1、△QUVの面積は1/2だから、△QUTの面積も1/2。
UQが共通、∠UQV=90°=∠UQT、VQ=QO(∵底辺とした場合高さが一緒)
よって、△QUV≡△QUT。UT=2。
点Wを(0,2)に取ると、UW=1、UT=2から、三平方の定理で(てかTUU’が正三角形なので)WT=√3
よって、a=TW=2-√3

って感じで初等幾何的に解いてみた。
うあ、むっちゃ簡単なはずなのにやたら長いw(やたら丁寧に書いたからですが。てか却ってわかりにくいか)
こんな回答書いてたら試験時間終わっちゃいますね。
でも、これで中1でも書ける回答だぜ、と思ったら今時三平方は中3なんですねorz
(てか、平方根が中3なのか……中3未満じゃ絶対無理じゃん)
とはいえ、最初の作図で正三角形の高さが√3さえ分かってれば小学生でも理解できるはず!(か?)
数学はよく答えは一つって揶揄されますが、解法は無数で、その辺がやっぱり楽しい学問ですよね。

しかし、この問題の出題者は絶対ニヤニヤしてるんだろうなぁ……
まあ、でもたしかに綺麗に出来てる問題です。

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