La.系ぶろぐ

個人的いろいろメモ。シャープペンのメモにちょっぴりゲ○ツの悪口が混じってるただのチラ裏。

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対角線論法の話

すみません、しばらくSSの方サボってて。

てことで(?)ここんとこ数学ガールを読んでたりするのですが、
そこで出てきた対角線論法について。

えっと、実数は加算じゃない(番号で対応付けできない、って言えばいいのかな?)って話で、
そのわかりやすい証明、として出てくるのですが、……なんかしっくり来ないんですよね。

証明はこの辺(の定理43)を見ていただくとして。(手抜きw)

何がしっくり来ないかって言うと、bnを1と2に定義する(2進数で使えないじゃないか!w)……じゃなくて、
bnって実は「有限の操作で」求まらないんですよね。桁数が無限だから。
そもそも、参照先で言えば、別証明に「任意の実数は小数の形で表される」って書かれているのですが、実は任意の実数(特に超越数)は小数では「書けない」はずなのです。無限に近似はできますが。

まあ、「書き表せない」時点で可算じゃない……って言ってるような気もしますが、でも厳密に言うと有理数ですらそう(あれは小数じゃなくて分数なら正確に書けるから加算)な訳で……
要するに、「(すべての)無理数は有限個の整数で書き表せない」事を証明しないと正確な証明にならないような気がするのです。

ひっくり返して言うと、実数が有理数と無理数のみに分けられるなら、無理数を発見した順番にナンバリングしてしまえば、少なくとも任意の(書き表された)実数は、すべて可算になってしまいます。
(ああ、無理数+無理数……とかもありますが、その辺は有限個のナンバーの組で表記って事で。ゲーデル数的に言えば、記号(Σとか)使おうが何しようが「正確に」「有限文字で」書けさえすればいいのです)

あー、まあ最後のはほとんど屁理屈になっちゃうと思いますが、なんというか「もやもやする」のがおわかりいただけるでしょうか。……解りませんね。あはは……

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