La.系ぶろぐ

個人的いろいろメモ。シャープペンのメモにちょっぴりゲ○ツの悪口が混じってるただのチラ裏。

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対角線論法は難しいね。

寝言だと思って聞いてください。

たとえば実数は大きく有理数・無理数に分けられますが、無理数の中でも√2みたいなのは代数的数、πやeは超越数と分けられます。(代数的数や超越数は複素数を含んじゃいますが、ひとまず実数的に考察します)
要するに超越数は代数的な式では書けないって事ですが、超越数の中でも数式に出来るものと出来ないものがあります。
そう言う意味ではπやe、あるいはチャンパーノウン数も数式に出来ます。(極限が入りますが)

ここで、有限長の数式で書けるものは(ゲーデル数化で考えて)可算な数、と扱うことが出来るはずです。
超越数は非可算で、じゃあなにが非可算として残るのか、というとおそらく完全な乱数の数列(たとえば10進表記で)、が挙げられると思います。πも十分乱数「的」ですが、ここでは予測が不能な完全な乱数の数列だと考えます。

さて、可算(と思われる)だった、数式で書ける超越数(および、代数的数の実数部分)を並べたとします。
そのとき、対角線で生成できる数列から、対角線論法的に生成される小数は、果たして「数式で書ける実数」でしょうか、それとも「数式で書けない超越数」でしょうか。

たぶん、どこかに穴があると思うのですが、どこだろう……?
自分込みで、普通の人は実数をイメージするときにどうしても10進小数にしてしまうので、この手の論理には引っかかりやすいのかな……と言う気もします。さて。

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