La.系ぶろぐ

個人的いろいろメモ。シャープペンのメモにちょっぴりゲ○ツの悪口が混じってるただのチラ裏。

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1=0.999……の集合的?な解釈

無限小数のネタで、よく1=0.999……か?って話があるじゃないですか。
まあ、無限級数の公式で自明。終了。ってなるわけですが。
違和感には苦しめられますよね。
で、大抵……そう言うものだ、と納得しちゃうのだと思うのですが。

とりあえず、眉につばしてから読んでみてください。

まあ、でも違和感を覚えるって事は、そこには誤解を招く原因があるわけで、
それを追求しておくというもの、まあ重要なことかな……とも思うのです。
(純粋な数学、と言う意味ではあまり先々重要じゃないかも知れませんがw)

たとえば、「ある集合R」があって、それを10分割して{Ra,Rb,Rc,Rd,Re,Rf,Rg,Rh,Ri,Rj}と分けたとしましょう。
そして、その一つの要素、たとえばRaをまた10分割して{Raa,Rab,...}と分ける。Rbも、Rcも。
そして、その一つの要素、たとえばRaaをまた10分割して{Raaa,Raab,...}と分け……
……
と繰り返したとしましょう。
何が言いたいか分かると思うのですが、1=0.999……て言うのは、つまり、上の集合を10分割する操作を「無限に」
繰り返したとき、Rbaaa……=Rajjj……が成り立つって事です。
といきなり書けば違和感があるでしょう。

もちろん、ただの集合Rをただ10分割を繰り返す操作、では実数の集合を{1,2,3...}と分割して、そして
その区間を10等分して……と言うのと少し前提条件が違います。
なら、その差が違和感の正体でしょうか?
でも、前提条件を追加したら、Rbaa……=Rajjj……が成立するものでしょうか?
後者の場合、たとえばRbbbb……とか、Rcccc……とかは、他の要素と等価になったりしないのでしょうか?

たとえば、世間のこの手の説明で……って検索するとWikipeが当たると思うのですが、この辺とか。
>生徒は「一つの数はただ一通りの小数で表すことができるはずだ」と思い込んでいる場合が多い。
みたいに書かれてるわけですが、この指摘はちょっと困りもの……って感じがしますよね。数学の定義は、ひとまず疑って掛かる方がいい、のは確かなのですが、でもそれでは他の数に果たして二通り以上の小数が無いことは証明されるのか(例:0.33333……とか)疑い出すと、初等数学の生徒では先に進めなくなる気もします。

まあ、その辺は脱線ですが、でも結構重要な指摘で、そもそも、我々はどうやって数字を書いてるのか、って話になるわけです。
数学では、定数は、問題として最初に与えられているか、或いは方程式の解として得られるか、となりますが、現実的には目盛りを読んでとか、もう少し数学的な数の作り方をすれば、幾何学的に、単位の何倍か、それ未満なら単位を10分割して……って感じで生成していくわけです。(あ、説明下手だ;)
何が言いたいのかというと、我々が使う実数(実際は有限小数)は、上の集合の分割みたいな操作を経て、一意に記数出来るはずなのです。
じゃあ、なぜ「一通りの小数で表すのが思い込み」ってなるのかというと、
1:少なくとも、有限小数なら、一意に記数できる。
2:そもそも、我々の普段「目盛りを読む」方法なら、1を与えられれば、まず1と記数する。(0.9……それから……なんてしない)
って事ですね。なんか2は身も蓋もないですが。

それなら、0.999……はどこから出てくるのか、と考えると、集合で考えたところの、Rajjj……な訳ですから、Ra(つまり、0~10の実数区間で10分割した0~1の区間)に1が含まれるのか?って事です。

上で言ったように、普通、私たちは1「以上」(2未満)なら「1.???」と書きますし、1「未満」なら「0.???」と書くわけです。だから、「0.???」と書いた時点で、「そこ」には1は含まれない。(要するにこれが違和感の原因の一つでしょう)
でも、実は、この時点で「0.???」の区間はいわゆる半開区間で、0は含まれるのに、1は含まれない。要するに非対称なわけです。
だから、「0.000……」(もちろん=0)と「対称な」「0.999……」を考えれば、それは「対称的に」=1になるわけです。(追記アリ)

結局、無限数列の表記は、対称的に閉区間(0≦x≦1)であることを暗に求めていて、通常我々は半開区間(0≦x<1)であることを前提に記数している。(あるいは、対角線論法では都合で逆の半開区間(0<x≦1)を利用して証明してますね)だから、無限数列の場合は、区間の分割が不完全になり、1の所は区間が重なっちゃいますよ、って事になるでしょうか。

集合の話で行くと、要するに非可算集合だから、分割するときの条件をきちんと決めないと、境界付近で微妙な挙動をしましますよ、ってだけのことなのかな。結論から俯瞰すれば。

とここまで考えてようやく腑に落ちたのですが、なんというか、10進記数法は考えれば考えるほどうさんくさい……って感じになりますね。そもそも、対角線論法は我々が2進数を使っていたら、発見が更に遅れたのでしょうかw
(10進数は、たとえば上の例ならajとそれ以外が対称性を持たない(a,jだけ、集合の境界線に接している)のに対して、2進数では常に対称的になってしまうので、扱いが特殊になる感じがします)

あー、とりとめない考察で済みません。

140115追記
考えてみたら、0.000……って表記は記数法で行くと0.1、0.01……の極限になってしまうかも知れませんね。
(プログラマ脳なので、0.000は0と同じって考えちゃうんですけど)
そう考えると、0.000……と0.999……は両方とも開区間の表現って捉えられる可能性もあるので、なんとも……;
(対称性だけでは説明が足りないって事です)
まあ、でもこの辺が違和感の原因の一つかな……ってのはそう外れてない気もしますが。
0と0.000……が違う数、となればそれもまた違和感があるはずなので。

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