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La.系ぶろぐ

個人的いろいろメモ。シャープペンのメモにちょっぴりゲ○ツの悪口が混じってるただのチラ裏。

結合の条件

前回、座標計算で交点を出した時と、組み合わせ(と同一の点の除去)で処理した時に、
生成される線と点の数が次第にずれてくる、と言う話をしました。

随分時間空いちゃいましたね……
まー、忙しかったのと、プログラムクムのめんどくさかったからw……なんですが、
結局、書いてみると数十分……もかからずに結論が出たわけですが。

ま、単純な話で、
重複の点は除去したのですが、
「別々に生成した交点」が3つ「ちょうど直線上に並んだ場合」、それを除去することは(座標計算していない以上)出来ないので、
重複が発生する、
例えば、3点が並んでしまった場合、組み合わせは3、実際は重複する1つの線なので、2の誤差が出ます。
前回、誤差は8(25と33)なので、おそらく(て、実は確認してますがw)4組の重複があり、それがずれになっていたわけです。

さて。ちょっと整理して、

前回、この組み合わせ計算は、座標計算を「端折って」、ようするに簡易なチェックとして用いたわけです。
でも、逆に考えると、
・2点は必ずただ1つの直線と結合する(幾何学基礎論のI1とI2)
・2直線は必ずただ1つの点と結合する(=交わる)
 (基礎論では、公理から、2直線はたかだか1点で交わるか、交わらないか、となっているわけで、それより強い条件です。
  とはいえ、そうしないと、「交わらない条件は?」となってしまい、その判別式(および判別用の情報)を足す必要が出てきます。
  コンピューターは幾何空間を想定できないので、無条件で推論できるのが望ましいわけです)
の条件で、幾何を構築している、とも言えます。
そして、前回、ちょっと触れたように、この条件は、点、直線、互いに対象になっています。
幾何学基礎論は、点をテーブル、直線を椅子にたとえて構わないと言いますが、
この条件では、点を直線に、直線を点にたとえて構わないわけです。

さて、上の、点が一直線上に並ぶ条件ですが、書き下すとこんな感じになります。
・点P0とP1から直線L0を作る
・点P0とP2から直線L1を作る
・点P0とP3から直線L2を作る
・点P1とP2から直線L3を作る
・点P1とP3から直線L4を作る
・点P2とP3から直線L5を作る

・直線L0,L5から点P4を作る
・直線L1,L4から点P5を作る
・直線L2,L3から点P6を作る

・点P4とP5から直線L6を作る
・点P4とP6から直線L7を作る
・点P5とP6から直線L8を作る
で、
・直線L0,L8から点P7を作る
・直線L1,L7から点P8を作る
・直線L3,L6から点P10を作る
この3点が、一直線に並びます。

私たちは、これを作図すれば、簡単に、この3点が一直線に並ぶことを確認できるでしょう。
でも、コンピューターは平面を「認識」しませんから、それは困難。
とはいえ、逆に、コンピューターは、点と直線の区別は出来ません。
だから、上に書いたとおり、直線と点を入れ替えて、処理してしまうことも出来ます。

さて、後は言わなくても……解るな。

ちなみに、この3点が並ぶ条件は、公理をどれだけ入れれば確認できるのでしょうか?
もちろん、座標を入れてしまえば確認可能。
でも、直線と点を入れ替えても成立するわけで、そもそも……そこまで強い前提を入れなくても成立しそうで。
(言うまでも無く、座標を入れるのは、平行公理や、自然数から実数までの、いろいろな前提が入ってしまいます。
 そもそも、ここでは「二直線は必ず交わる」、即ち、平行公理なんてそっちのけの世界だったりします)

あー、幾何学基礎論の公理から、定理を導き出すのはあまり練習していないので、
まずはその辺から……ですかね。

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